Тарау I. МАТЕМАТИКАЛЫҚ МОДЕЛЬДІҢ НЕГІЗДЕР

1. Математикалық модельдеудін негізгі ұғымдары

1.1 Тензорлар. Декарттық тензорлар. Тензор рангісі

1.2. Векторлар және скалярлар

1.3 Векторларға қолданылатын сызықтық операциялар

1.4 Векторлардың скалярлық және векторлық көбейтіндісі

1.5 Диада және диадиктер

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

1.5 Диада және диадиктер

Анықтама 5. Диада деп – екі вектордың анықталмаған көбейтіндісін айтамыз, яғни .

Анықталмаған көбейтінді жалпы жағдайда комутативті емес:

             .

Анықтама 6. Диадик деп – диадалардың ақырлы сандарының қосындысы түрінде көрсетуге болатын екінші рангілі тензорды айтамыз:

                            .                       (1.12)

Егер әрбір қосылғыштағы көбейткіштердің орнын ауыстыратын болсақ, онда  түйіндес диадикті аламыз:

                            .                     (1.13)

Егер (1.12)–де әрбір диадаға векторлардың скалярлық көбейтіндісін қолдансақ, онда  диадигінің скаляры деп аталатын

                ,                                    (1.14)

скалярын аламыз.

Егер (1.12) – де әрбір диадаға векторлардың векторлық көбейтіндісін қолдансақ, онда  диадигінің векторы деп аталатын

                ,                     (1.15)

(1.15) векторын аламыз.

Анықталмаған көбейтінді қасиеттері

                            ;                               (1.16)

                            ;                               (1.17)

                .                   (1.18)

Егер  болса, онда

                            ,                                    (1.19)

                            .                        (1.20)

Диадиктің  векторына скаляр көбейтіндісі келесі өрнектермен анықталады:

    ,              (1.21)

    .              (1.22)

Егер  немесе  болса, онда

                                        .                                               (1.23)

 бірлік диадигін келесі түрде жазамыз:

                            ,                            (1.24)

мұндағы  – үш өлшемді кеңістікте ортонормаланған базис.

 бірлік диадигі кез-келген  векторы үшін

                                                                 (1.25)

қасиетімен сипатталады.

х және х векторлық көбейтінділері – диадик болып табылады және келесі өрнектермен анықталады:

                ,         (1.26)

                .         (1.27)

 және  диадаларының скаляр көбейтіндісі, келесі түрдегі диада болады:

                            .                              (1.28)

(1.28) формуланы пайдаланып келесі өрнекті аламыз:

   (1.29)

Егер

                            ,                                 (1.30)

теңдігі орындалса, онда  және  диадиктері өзара кері диадиктер деп аталады. Кері диадиктер үшін  және  белгілеулері қолданылады.

 және  диадаларының екі рет скалярлық, векторлық, аралас көбейтінділері келесі формулалармен анықталады:

                ,                               (1.31)

                ,               (1.32)

                ,             (1.33)

                .           (1.34)

(1.31) – (1.34) формулаларын қолдана отырып, келесі көбейтінділерді есептеуге болады:

                .

Кейбір жағдайларда екі рет скаляр көбейтінді келесі түрде анықталады:

                .                             (1.35)

Егер

                                                                           (1.36)

болса, диадигі өзіне түйіндес (симметриялы) диадик деп аталады, ал егер

                                                                         (1.37)

болса, онда антисимметриялы диадик деп аталады.

Кез-келген  диадигін келесі симметриялық және антисимметриялық диадиктердің қосындысы түрінде көрсетуге болады:

                ,               (1.38)

мұндағы

                ,                        (1.39)

                ,      (1.40)

сәйкесінше симметриялы және антисимметриялы диадиктер.

Ал енді (1.40) көрінісінің жалғыздығын дәлелдейік. Ол үшін  теңдігі орындалсын және

,                        (1.41)

болсын. Онда бұған түйіндес

                            .                                (1.42)

(1.41) және (1.42) формулаларын бір біріне қоссақ, онда  теңдігі шығады. Осыдан . Ал (1.41) және (1.42) формулаларын бір бірінен алсақ, онда  теңдігі шығады. Осыдан .